1) Как поступить в такой ситуации (сначала они переписывали только заголовки и вводки, после того как им было послано письмо о том, что эти новости являются объектами авторского права, они вообще стали внаглую переписывать тексты).
Пишите им претензию. Не поможет - будьте готовы к суду, если уверены в своей правоте.
2) Даже если идти в суд, как доказать принадлежность авторского права и кому оно в данной ситуации принадлежит - мне, как владелице сайта или журналисту, который написал?
А это уже вопрос организации "делопроизводства" у Вас. Скорее всего так: автор - журналист, правообладатель - "редакция".
3) Как доказать незаконное использвание моих материалов на их сайте. Ведь в любой момент можно все сайта убрать. Итогда мои обвинения будут голословными.
У нотариуса.